Like last time, you can find a proper translation to english in the comment section below.
Die Mathematiker haben ja keine Hemmungen, mehr als 4 Dimensionen sind überhaupt kein Problem! Ist ja nicht Physik hier, wo die armen Teufel nachweisen müssen, daß die dann wirklich und total echt voll real existieren. Nicht nur so als Freiheitsgrade wie etwa Position und Geschwindigkeit zusammengenommen, was ja bei einem Partikel schon einen 3+3=6 Dimensionen oder Freiheitsgrade ergäbe. Sowas heißt dann Phasen- oder Hilbertraum, und ist Thema der symplektischen Geometrie, einer Abart der Standardgeometrie, bei der das Skalarprodukt auf die Seite gelegt wird, sodaß es null wird wenn die beiden Vektoren parallel sind. Damit kann man z.B. Kepler's elliptische 2d Planetenbahnen in 4d sehen, und die Ellipse ist darin einfach ein Kreis!
Man kann eine Menge zu 4d sagen. Zwei 4d Objekte hatte ich ja schon vorgestellt. Die 3-Sphäre als Oberfläche eines 4-Balls. Und den projektiven PR^3, der einer halben 3-Sphäre ("Hemiball") entspricht, bei der gegenüberliegende Seiten zusammengenäht werden. Weil das schwierig zu sehen ist, hatte ich stattdessen von PR^2 gesprochen, einer Kreisscheibe bei der gegenüberliegende Punkte ihres Randes zusammengenäht werden. Versucht man sowas zu häkeln, dann stellt sich raus, daß das in 3d nicht ohne Selbstüberschneidungen geht. Hätten wir eine extra 4. Dimension, dann wäre das überschneidungsfrei drin. Jakob Steiner fand 1838 während seines Besuchs in Rom eine (beinahe) Einbettung in 3d, such mal nach Steiner'sche Fläche oder "roman surface" für ein Bild. Zugegeben auch nicht ganz einfach zu sehen. Werner Boy fand eine andere Einbettung, "Boy's surface", vielleicht hilft das. Die englische Wikipedia ist recht gut bei sowas.
Für 3-Orientierungen sind die zwei Freiheitsgrade, die man hat wenn man einen Ball auf dem Boden rollt, miteinander verbunden. Das ist nicht so wie wenn man die zwei Richtungen eines ebenen Koordinatensystems addiert. Die Bedeutung der einen Richung ändert sich (auf der Kugel), wenn man die andere entlangrollt. Und wenn man die Kugel in einem kleinen Kreis rollt, dann scheint sie sich um eine dritte zu drehen. Dieser Effekt wird Holonomie genannt. Man kann also unter verwendung von 2 Freiheitsgraden in 3 Richtungen gehen! Zur erinnerung, die 3-Orientierungen bilden einen 3d Raum: Dreh den Nordpol irgendwohin (2 Freiheitsgrade), und kann dann noch eine Drehung entlang der Nordpolachse (noch 1 Freiheitsgrad).
Einen Schritt weiter: Orientierungen eines 4-Vektors bilden einen 6d Raum! Ihr erinnert euch, in 3d war das "zufällig" auch ein 3d Raum. Ich will da diesesmal nicht allzu weit reinsteigen, das oben sollte ja erstmal genug zum nachdenken geben, daher nur ein weiteres Detail: Man kann sich den 4-Spinraum frei in zwei Hälften zerlegen, und jede davon unabhängig von der anderen wie einen 3-Ball drehen!
Es gibt so viel zu sehen. Das hier ist ja nur ein winziger Teil der mathematischen Landschaft. Selbst von dem Kontinent Geometrie haben wir gerade mal eine kleine Promenade am Fuße der Alpen gemacht. Bis nach ganz oben komme ich selber auch nicht (da braucht man eine Spezialausrüstung und ein modifiziertes Gehirn für), und den Ausblick von dort kann ich mir auch nicht annähernd vorstellen, aber ich finde die Landschaft hier unten auch hinreißend. Man darf sich nur nicht an den erfahrenen Alpinisten stören, die scheinbar mühelos senkrecht die Wand hochgehen, wärend unsereins unter vollem Krafteinsatz millimeterweise eine leichte Steigung überwindet.
